Изчислителна площ

Вижте също: Свойства на полигоните

Площта е мярка за това колко пространство има във формата. Изчисляването на площта на дадена форма или повърхност може да бъде полезно в ежедневието - например може да се наложи да знаете колко боя да купите, за да покриете стена или колко тревни семена са ви необходими, за да засеете тревна площ.

Тази страница обхваща най-важното, което трябва да знаете, за да разберете и изчислите площите с общи фигури, включително квадрати и правоъгълници, триъгълници и кръгове.

Изчисляване на площ с помощта на решетъчен метод

Когато фигурата е нарисувана върху мащабирана мрежа, можете да намерите областта, като преброите броя на квадратчетата на мрежата във формата.



Номерирана мрежа, която помага да се изчисли площта на дадена форма.

В този пример вътре в правоъгълника има 10 квадратни решетки.


За да намерим стойност на площ, използвайки метода на мрежата, трябва да знаем размера, който представлява квадратът на мрежата.

Този пример използва сантиметри, но същият метод се прилага за всяка единица дължина или разстояние. Можете например да използвате инчове, метри, мили, крака и т.н.

Използване на мрежа за изчисляване на площта на дадена форма.



В този пример всеки квадрат с решетка има ширина 1cm и височина 1cm. С други думи, всеки квадрат на мрежата е един „квадратен сантиметър“.

Пребройте квадратчетата на мрежата в големия квадрат, за да намерите неговата площ ..

Има 16 малки квадрата, така че площта на големия квадрат е 16 квадратни сантиметра.



В математиката съкращаваме „квадратни сантиметри“ на cmдве. Theдвеозначава „на квадрат“.

Всеки квадрат на мрежата е 1 смдве.

Площта на големия квадрат е 16смдве.


Преброяването на квадрати в мрежа, за да се намери площта работи за всички форми - стига да са известни размерите на мрежата. Този метод обаче става по-предизвикателен, когато фигурите не пасват точно на мрежата или когато трябва да преброите части от квадратите на мрежата.

1 см квадратна решетка, за да изчислите площта на дадена форма.

В този пример квадратът не се побира точно върху мрежата.



Все още можем да изчислим площта, като броим квадратчета на мрежата.

  • Има 25 квадратчета с пълна мрежа (засенчени в синьо).
  • 10 квадратчета с половин решетка (засенчени в жълто) - 10 половин квадрата е същото като 5 пълни квадрата.
  • Има и 1 четвърт квадрат (засенчен в зелено) - (¼ или 0,25 от цял ​​квадрат).
  • Съберете всички квадратчета и дроби заедно: 25 + 5 + 0,25 = 30,25.

Следователно площта на този квадрат е 30,25 смдве.

Можете също да напишете това като 30¼cmдве.


Въпреки че използването на решетка и броенето на квадрати в дадена форма е много прост начин за изучаване на понятията за площ, то е по-малко полезно за намиране на точни области с по-сложни фигури, когато може да има много фракции от решетъчни квадрати, които да се съберат.

кое от изброените е бариера пред слушането, създадена от говорителя?

Площта може да бъде изчислена с помощта на прости формули, в зависимост от вида на формата, с която работите.

Останалата част от тази страница обяснява и дава примери за това как да се изчисли площта на фигурата, без да се използва мрежата.


Области на прости четириъгълници:
Квадрати и правоъгълници и паралелограми

Най-простите (и най-често използваните) изчисления на площ са за квадрати и правоъгълници.

За да намерите площта на правоъгълник, умножете височината му по ширината.

За квадрат трябва само да намерите дължината на една от страните (тъй като всяка страна е с еднаква дължина) и след това да я умножите по себе си, за да намерите площта. Това е същото като да се каже дължинадвеили дължина на квадрат.



Добра практика е да проверите дали дадена форма всъщност е квадрат, като измервате две страни. Например стената на стаята може да изглежда като квадрат, но когато я измервате, откривате, че всъщност е правоъгълник.

Диаграма, показваща как да се изчисли площта на квадратите и правоъгълниците.

Често в реалния живот формите могат да бъдат по-сложни. Например, представете си, че искате да намерите площта на пода, за да можете да поръчате точното количество килим.

Типичният план на помещението може да не се състои от обикновен правоъгълник или квадрат:

Диаграма, която показва как да се изчисли площта на стая с нечетна форма.

В този пример и други примери като него, трикът е да разделите фигурата на няколко правоъгълника (или квадрати). Няма значение как разделяте фигурата - всяко от трите решения ще доведе до един и същ отговор.

Решения 1 и 2 изискват да направите две фигури и да добавите техните области заедно, за да намерите общата площ.

За решение 3 правите по-голяма фигура (A) и изваждате по-малката фигура (B) от нея, за да намерите площта.


Друг често срещан проблем е намирането на областта на граница - фигура в друга форма.

Този пример показва пътека около поле - пътеката е широка 2м.

Отново има няколко начина за обработване на областта на пътя в този пример.

Можете да видите пътеката като четири отделни правоъгълника, да изчислите техните размери и след това тяхната площ и накрая да добавите областите, за да дадете общо.

По-бърз начин би бил да се обработи площта на цялата форма и площта на вътрешния правоъгълник. Извадете вътрешната площ на правоъгълника от цялата, оставяйки зоната на пътя.

Диаграма, показваща как да се изчисли площта на границата на фигура.
  • Площта на цялата форма е 16m × 10m = 160mдве.
  • Можем да изработим размерите на средната секция, защото знаем, че пътеката около ръба е широка 2м.
  • Ширината на цялата форма е 16m, а ширината на пътеката през цялата форма е 4m (2m вляво от фигурата и 2m вдясно). 16м - 4м = 12м
  • Можем да направим същото за височината: 10m - 2m - 2m = 6m
  • Така че сме изчислили, че средният правоъгълник е 12m × 6m.
  • Следователно площта на средния правоъгълник е: 12m × 6m = 72mдве.
  • Накрая отнемаме площта на средния правоъгълник от площта на цялата форма. 160 - 72 = 88мдве.

Площта на пътеката е 88мдве.


ДА СЕ паралелограм е четиристранна форма с две двойки страни с еднаква дължина - по дефиниция правоъгълникът е вид паралелограм. Въпреки това, повечето хора са склонни да мислят за паралелограмите като за четиристранни фигури с ъглови линии, както е илюстрирано тук.

Изчисляване на площта на успоредник.

Площта на успоредник се изчислява по същия начин, както за правоъгълник (височина × ширина), но е важно да се разбере, че височината не означава дължината на вертикалните (или извън вертикалните) страни, а разстоянието между страните.

От схемата можете да видите, че височината е разстоянието между горната и долната страна на формата, а не дължината на страната.

Помислете за въображаема линия, под прав ъгъл, между горната и долната страна. Това е височината.


Области от триъгълници

Може да бъде полезно да се мисли за триъгълник като половината от квадрат или успоредник.

Триъгълникът е половината от квадрат или правоъгълник.

Ако приемем, че знаете (или можете да измерите) размерите на триъгълник, тогава можете бързо да обработите неговата площ.

Площта на триъгълника е (височина × ширина) ÷ 2.

С други думи, можете да обработите площта на триъгълник по същия начин като площта на квадрат или успоредник, след което просто разделете отговора си на 2.

Височината на триъгълник се измерва като правоъгълна линия от долната линия (основата) до „върха“ (горната точка) на триъгълника.

Ето няколко примера:

Изчисляване на площта на триъгълник

Площта на трите триъгълника в диаграмата по-горе е еднаква.

Всеки триъгълник има ширина и височина 3 см.

Площта се изчислява:

(височина × ширина) ÷ 2

3 × 3 = 9

9 ÷ 2 = 4,5

Площта на всеки триъгълник е 4,5 смдве.


В ситуации от реалния живот може да се сблъскате с проблем, който изисква да намерите площта на триъгълник, като например:

Искате да нарисувате фронтонния край на плевнята. Искате да посетите магазина за декорация само веднъж, за да получите точното количество боя. Знаете, че литър боя ще покрие 10 метрадвена стена. Колко боя ви е необходима, за да покриете края на фронтона?

Фронтон (триъгълник)

Необходими са ви три измервания:

A - Общата височина до върха на покрива.

B - Височината на вертикалните стени.

C - Ширината на сградата.

В този пример измерванията са:

A - 12,4 м

Б - 6,6м

С - 11,6м

Следващият етап изисква някои допълнителни изчисления. Мислете за сградата като две фигури, правоъгълник и триъгълник. От измерванията, които имате, можете да изчислите допълнителните измервания, необходими за изработване на площта на края на фронтона.

Разделете сложната форма на прости форми, за да изчислите площта

Измерване D = 12,4 - 6,6

D = 5,8 m

Вече можете да обработите зоната на двете части на стената:

Площ на правоъгълната част на стената: 6,6 × 11,6 = 76,56мдве

Площ на триъгълната част на стената: (5.8 × 11.6) ÷ 2 = 33.64mдве

Добавете тези две области заедно, за да намерите общата площ:

76,56 + 33,64 = 110,2мдве

Както знаете, че един литър боя покрива 10 метрадвена стената, за да можем да разберем колко литра трябва да купим:

110,2 ÷ 10 = 11,02 литра.

В действителност може да откриете, че боята се продава само в кутии от 5 литра или 1 литър, резултатът е малко над 11 литра. Може да се изкушите да закръглите надолу до 11 литра, но ако приемем, че не поливаме боята, това няма да е напълно достатъчно. Така че вероятно ще закръглите до следващия цял литър и ще си купите две 5-литрови кутии и две 1-литрови кутии, правейки общо 12 литра боя. Това ще позволи всякакви загуби и ще остави по-голямата част от литър за докосване на по-късна дата. И не забравяйте, че ако трябва да нанесете повече от един слой боя, трябва да умножите количеството боя за един слой по броя на необходимите слоеве!


Области от кръгове

За да изчислите площта на кръг, трябва да знаете неговата диаметър или радиус .

Диаметър и радиус на окръжност

The диаметър на кръг е дължината на права линия от едната страна на кръга до другата, която минава през централната точка на кръга. Диаметърът е два пъти по-дълъг от радиуса (диаметър = радиус × 2)

The радиус на кръг е дължината на права линия от централната точка на окръжността до нейния ръб. Радиусът е половината от диаметъра. (радиус = диаметър ÷ 2)

Можете да измерите диаметъра или радиуса във всяка точка около кръга - важното е да измервате с помощта на права линия, която минава през (диаметър) или завършва в (радиус) центъра на кръга.

На практика при измерване на кръгове често е по-лесно да се измери диаметърът, след което се разделя на 2, за да се намери радиусът.

Радиусът ви е необходим, за да се изработи площта на кръг, формулата е:

площ на кръга = & pi; Rдве.

Това означава:

& pi; = Pi е константа, която е равна на 3.142.

R = е радиусът на окръжността.

Rдве(радиус на квадрат) означава радиус × радиус.


Следователно a кръг с радиус 5см има площ от:

3.142 × 5 × 5 = 78.55смдве.

ДА СЕ кръг с диаметър 3м има площ:

Първо изчисляваме радиуса (3m ÷ 2 = 1,5m)

След това приложете формулата:

& pi; Rдве

3,142 × 1,5 × 1,5 = 7,0695.

Площта на кръг с диаметър 3m е 7.0695mдве.


Последен пример

Този пример обхваща голяма част от съдържанието на тази страница за решаване на прости проблеми в областта.

Изчисляване на площ - пример на Блумингтън Бенджамин Хаус.

Това е Къщата на Рубен М. Бенджамин в Блумингтън, Илинойс, вписан в Националния регистър на историческите места на САЩ (Номер на запис: 376599).

Този пример включва намиране на площта на предната част на къщата, дървената част с решетки - с изключение на вратата и прозорците. Измерванията, от които се нуждаете, са:

A – 9.7m В - 7,6м
С - 8,8 m D - 4,5 м
E - 2,3 м F – 2.7m
G - 1,2 м H - 1,0 m

Бележки:

  • Всички измервания са приблизителни.
  • Няма нужда да се притеснявате за границата около къщата - това не е включено в измерванията.
  • Предполагаме, че всички правоъгълни прозорци са с еднакъв размер.
  • Измерването на кръглия прозорец е диаметърът на прозореца.
  • Измерването на вратата включва стъпките.

Каква е площта на дървената летвена част на къщата?

Работа и отговори по-долу:



Отговори на горния пример

Първо, разработете зоната на основната форма на къщата - това е правоъгълникът и триъгълникът, които съставят формата.

Основният правоъгълник (B × C) 7,6 × 8,8 = 66,88mдве.

Височината на триъгълника е (A - B) 9,7 - 7,6 = 2,1.

Следователно площта на триъгълника е (2,1 × C) ÷ 2.
2,1 × 8,8 = 18,48. 18,48 ÷ 2 = 9,24мдве.

Комбинираната пълна площ на предната част на къщата е сумата от площите на правоъгълника и триъгълника:

66,88 + 9,24 = 76,12мдве.

След това обработете зоните на прозорците и вратите, за да могат да бъдат извадени от цялата площ.

Площта на вратата и стъпалата е (D × E) 4,5 × 2,3 = 10,35mдве.

кое от изброеното е характерно за по-официалния стил?

Площта на един правоъгълен прозорец е (G × F) 1,2 × 2,7 = 3,24mдве.

Има пет правоъгълни прозореца. Умножете площта на един прозорец по 5.

3,24 × 5 = 16,2м2. (общата площ на правоъгълните прозорци).

Кръглият прозорец има диаметър 1 m, поради което радиусът му е 0,5 m.

Използване на & pi; Rдве, обработете площта на кръглия прозорец: 3.142 × 0.5 × 0.5 =. 0,7855мдве.

След това добавете зоните на вратата и прозорците.

(площ на вратата) 10,35 + (площ на прозорците с правоъгълник) 16,2 + (площ на прозореца на кръг) 0,7855 = 27,3355

И накрая, извадете общата площ за прозорците и вратите от цялата площ.

76,12 - 27,3355 = 48,7845

Площта на дървената решетка отпред на къщата и отговорът на проблема е: 48.7845мдве.

Може да искате да закръглите отговора до 48,8 метрадвеили 49мдве.

Вижте нашата страница на Оценка, сближаване и закръгляване .

Продължете към:
Лист за площ, повърхност и обем

Изчисляване на обема