Изчисляване на обема

Вижте също: Триизмерни форми

Тази страница обяснява как да изчислите обема на твърди предмети, т.е. колко бихте могли да поберете в даден обект, ако например сте го напълнили с течност.

■ площ е мярката за това колко място има в двуизмерен обект (вижте нашата страница: Изчислителна площ за още).

Обемът е мярката за това колко пространство има в триизмерен обект. Нашата страница на триизмерни форми обяснява основите на такива форми.



В реалния свят изчисляването на обема вероятно не е нещо, което ще използвате толкова често, колкото изчисляването на площта.

Все пак може да е важно. Възможността да изчислите обема ще ви позволи например да определите колко място за опаковане имате при преместване, колко офис пространство ви е необходимо или колко конфитюр можете да поберете в буркан.

Също така може да бъде полезно за разбиране какво означават медиите, когато говорят за капацитета на язовир или потока на река.

Изчисляване на площ и обем. Площта се измерва в единици на квадрат, колко квадрата ще се поберат в плосък (двумерно пространство)? Обемът се измерва в кубични единици, колко кубчета ще се поберат в твърд (триизмерен) обект?

Бележка за единиците

какво е an! по математика

Площта се изразява в квадратни единици, защото е две измервания, умножени заедно.

Обемът се изразява в кубични единици, защото е сумата от три измервания (дължина, ширина и дълбочина), умножени заедно. Кубичните единици включват cm3, m3и кубически фута.

ВНИМАНИЕ!

Обемът може да се изрази и като течност.

Метрична система

В метричната система капацитетът на течността се измерва в литри, което е пряко сравнимо с кубичното измерване, тъй като 1 ml = 1 cm3. 1 литър = 1 000 мл = 1 000 см3.

Имперска / английска система

В имперската / английска система еквивалентните измервания са течни унции, пинти, кварти и галони, които не се превеждат лесно в кубически фута. Поради това е най-добре да се придържате към течни или твърди обеми.

За повече информация вижте нашата страница на Системи за измерване


Основни формули за изчисляване на обема

Обем на твърдото вещество на базата на правоъгълник

Площ = Ширина x Дължина. Обем = Ширина x Дължина x Височина.

Докато основната формула за площта на правоъгълна форма е дължината × ширина, основната формула за обем е дължината × ширина × височина.



Начинът, по който се позовавате на различните размери, не променя изчислението: можете например да използвате „дълбочина“ вместо „височина“. Важното е, че трите измерения се умножават заедно. Можете да умножите, в който и да е ред, който искате, тъй като това няма да промени отговора (вижте нашата страница на умножение за още).

Кутия с размери 15 см ширина, 25 см дължина и 5 см височина има обем:
15 × 25 × 5 = 1875см3

Обем на призмите и цилиндрите

Тази основна формула може да бъде разширена, за да обхване обема на цилиндри и призми също. Вместо правоъгълен край, просто имате друга форма: кръг за цилиндри, триъгълник, шестоъгълник или всъщност всеки друг многоъгълник за призма.

На практика за цилиндрите и призмите обемът е площта на едната страна, умножена по дълбочината или височината на формата.



Следователно основната формула за обем на призми и цилиндри е:

Площ на крайната форма × височината / дълбочината на призмата / цилиндъра.


Обем на конуси и пирамиди

Същият принцип, както по-горе (ширина × дължина × височина), е валиден за изчисляване на обема на конус или пирамида, с изключение на това, че тъй като те достигат точка, обемът е само част от общия размер, който би бил, ако продължат в същата форма точно през.

Обемът на конус или пирамида е точно една трета от това, което би бил за кутия или цилиндър със същата основа.



Следователно формулата е:

Площ на основата или крайната форма × височината на конуса / пирамидата ×1/3

Обърнете се към нашата страница Изчислителна площ ако не можете да си спомните как да изчислите площта на кръг или триъгълник.

Например, за да изчислите обема на конус с радиус 5cm и височина 10cm:

Площта в кръга = πr2 (където π (pi) е приблизително 3,14, а r е радиусът на окръжността).

В този пример площта на основата (кръга) = πrдве= 3,14 × 5 × 5 = 78,5 смдве.

78,5 × 10 = 785

785 × 1/3 = 261,6667см3

Изчислете обема на сфера. 4/3 x pi x радиус на куб.

Обем на сфера

Както при кръг, и за изчисляване на обема на сферата ви е необходим π (pi).



Формулата е с радиус 4/3 × π ×3.

Може би се чудите как бихте могли да определите радиуса на топка. Освен да прокарате игла за плетене през нея (ефективно, но терминал за топката!), Има по-прост начин.

Можете да измерите разстоянието около най-широката точка на сферата директно, например с рулетка. Тази окръжност е обиколката и има същия радиус като самата сфера.

Обиколката на кръг се изчислява като радиус 2 x π x.

За да изчислите радиуса от обиколката:

Разделете обиколката на (2 x π) .


Работещи примери: Изчисляване на обема


Пример 1

Цилиндър с дължина 20см и радиус 2,5см
Изчислете обема на цилиндър с дължина 20 cm и чийто кръгъл край има радиус 2,5 cm.

Първо, обработете областта на един от кръговите краища на цилиндъра.

Площта на кръг е πrдве(Пи × радиус × радиус). π (pi) е приблизително 3,14.

Следователно площта на края е:

3,14 х 2,5 х 2,5 = 19,63 смдве

The сила на звука е площта на края, умножена по дължината, и следователно е:

19,63 смдвех 20см = 392,70см3




Сфера с радиус 2см и пирамида с квадратна основа 2,5см и височина 10см.

Пример 2

Кое е по-голямо по обем, сфера с радиус 2 см или пирамида с основа 2,5 см квадрат и височина 10 см?

Първо, изработете обема на сферата .

Обемът на сферата е 4/3 × π × радиус3.

Следователно обемът на сферата е:

4 ÷ 3 x 3,14 × 2 × 2 × 2 = 33,51 см3

След това изработете обема на пирамидата .

Обемът на пирамидата е 1/3 × площ от основата × височина.

Площ на основата = дължина × широчина = 2,5 см × 2,5 см = 6,25 смдве

Следователно обемът е 1/3 x 6,25 × 10 = 20,83 cm3

Следователно сферата е по-голяма по обем от пирамидата.



Изчисляване на обема на нередовни твърди вещества

Точно както можете да изчислите площта на неправилните двумерни фигури, като ги разбиете на правилни, можете да направите същото, за да изчислите обема на неправилните твърди тела. Просто разделете твърдото вещество на по-малки части, докато достигнете само твърди частици, с които можете лесно да работите.


Работил пример

Изчислете обема на воден цилиндър с обща височина 1m, диаметър 40cm и чиято горна част е полусферична.
Неравномерно твърдо. Кръгла основа с диаметър 40см и с обща височина 1м. Горната част е полусферична.

Първо разделяте фигурата на две секции, цилиндър и полусфера (половин сфера).

Обемът на сферата е 4/3 × π × радиус3. В този пример радиусът е 20 см (половината от диаметъра). Тъй като върхът е полусферичен, обемът му ще бъде наполовина по-малък от пълната сфера. Следователно обемът на този раздел на формата:

0,5 × 4/3 × π × 203 = 16 755,16 см3

Обемът на цилиндъра е площ на основата × височина. Тук височината на цилиндъра е общата височина, намалена с радиуса на сферата, която е 1m - 20cm = 80cm. Площта на основата е πrдве.

Следователно обемът на цилиндричния участък с тази форма е:

80 × π × 20 × 20 = 100 530,96 см3

Следователно общият обем на този контейнер за вода е:
100 530,96 + 16 755,16 = 117 286,12 см3.

Това е доста голям брой, така че може да предпочетете да го преобразувате в 117,19 литра, като разделите на 1000 (тъй като има 1000 см3в литър). Съвсем правилно е обаче да се изразява като cm3тъй като проблемът не изисква отговорът да бъде изразен под някаква конкретна форма.



В заключение…

Използвайки тези принципи, ако е необходимо, сега бихте могли да изчислите обема на почти всичко в живота си, независимо дали това е опаковъчна щайга, стая или воден цилиндър.

Продължете към:
Триизмерни форми
Лист за площ, повърхност и обем