Извити форми

Вижте също: Многоъгълници

Кръгове, елипси, параболи и хиперболи

Нашата страница на Многоъгълници обхваща фигури, направени с прави линии, известни също като „равнинни форми“. Тази страница обяснява повече за фигури с криви, особено двуизмерни.

Двуизмерните извити форми включват кръгове, елипси, параболи и хиперболи, както и дъги, сектори и сегменти. Триизмерни извити форми, включително сфери, цилиндри и конуси, са описани на нашата страница на Триизмерни форми .

Двуизмерни извити форми

Свойства на окръжност. Обиколка, диаметър и радиус.

Кръгове

Може би най-често срещаната двуизмерна извита форма е кръг.



За да работите с кръгове (и други извити форми) в геометрията е важно да разберете ключовите свойства на кръга:

обяснете как да използвате закръгляването при оценяване
  • Линия, права през центъра на кръг, е диаметър .



  • Половината от диаметъра е радиус .

  • Линията около ръба на кръг е обиколка .

Всяка точка от обиколката на окръжност е точно на същото разстояние от центъра на окръжността като всяка друга точка от обиколката.

Представяме π (pi)


π или pi е гръцка буква. В математиката се използва за представяне на определена константа, която също е ирационално или безкрайно число (вижте нашата страница на Специални номера за още).

π има стойност 3.142 (въпреки че тъй като е безкрайно, това е приблизително неговата точна стойност).


π е важно, защото се използва за изчисляване на обиколката и площта на кръг.

Обиколката на кръг е равна на π x диаметър или 2 × π × радиус (съкратено на 2πr).

Площта на кръг е равна на π × радиусдве. Тази формула обикновено се съкращава на πrдве

За повече информация относно областта вижте нашата страница Изчислителна площ .

Сектори и сегменти

Секторите и сегментите са „резени“ на кръг.



Сектори са оформени като парче пица, с извит ръб и всяка права страна със същата дължина като радиуса на кръга, или пица, от която е изрязана. Кръговите диаграми се състоят от редица сектори, свързани по размер с данните, които показват.

Секторът може да бъде с всякакъв размер, но сектор, който е половин кръг (180 °), се нарича a полукръг , докато сектор с четвърт кръг (90 °) се нарича a квадрант .

ДА СЕ сегмент е извитата част на сектор, частта, която е останала, ако премахнете триъгълника от сектор. Сегментите са съставени от два реда. The дъга (участък от обиколката на кръга - виж по-долу) и a акорд - правата линия, свързваща двата края на дъгата.

Кръгови сектори, включително полукръгове (полукръгове) и квадранти (кватерни кръгове). Сегменти от кръг, акорд и дъга.

Секторът е част от кръг и следователно площта му е част от площта на целия кръг. За да изчислите площта на даден сектор, трябва да знаете централния ъгъл, θ и радиуса.



След това площта на даден сектор може да се изчисли, като се използва следната формула:

πrдве× (θ ÷ 360)

Дъги

Дължина на дъга на кръг. 2πr × (θ ÷ 360)

Сечение от обиколката на кръг се нарича дъга .

За да изчислите дължината на дъга между точки A и B, трябва да знаете ъгъла в центъра между точките A и B. θ (theta) е символът, използван за представяне на този ъгъл, заместен от A и B. В нашия пример, ние използваме градуси за θ, но също така е възможно да използваме и радиани.

Също така трябва да знаете радиуса (r) на дъгата.

Тъй като в целия кръг има 360 °, дължината на дъгата е равна на централния ъгъл (θ), разделен на 360, след което се умножава по обиколката на целия кръг (2πr).

какво означава 4 по математика

2πr × (θ ÷ 360)

Пример:



r = 10 cm, θ = 88 °, π = 3,14

Дължина на дъгата = 2 x 3,14 x 10 x (88 ÷ 360) = 62,8 × 0,24 = 15,07 см .

Градуси или радиани?


Най-често използваната мерна единица за ъгли е градусите, но може да срещнете и изчисления, при които ъгълът се измерва в радиани. Това е стандартната единица SI за ъгли на измерване, а за повече информация относно радианите вижте нашата Въведение в ъглите страница. За повече информация относно системата за измерване SI вижте нашата страница на Системи за измерване .

2π радиана е равно на 360 °, така че формулата за дължина на дъгата, когато θ е в радиани, е просто rθ.


Елипси

Елипсата е крива върху равнина (или равна повърхност), заобикаляща две фокусни точки. Правата линия, изтеглена от една фокусна точка до която и да е точка на кривата и след това до другата фокусна точка, има същата дължина за всяка точка на кривата.

Елипсите са много важни в астрономията и физиката, тъй като всяка планета има елиптична орбита със слънцето като една от фокусните точки.

Кръгът е специфична форма на елипса, където двете фокусни точки са на едно и също място (в центъра на кръга). Елипсите също могат да бъдат описани като „овални“, но думата „овална“ е много по-малко точна в математиката и просто означава „широко яйцевидна“.

Свойства на елипса. Диаграмата включва основна и малка ос с върхове и фокусни точки.

Свойства на елипса:

Елипсата има две основни оси и е симетрична около тях.

По-дългата ос се нарича голяма ос ; по-късата ос е малка ос .

Четирите точки, където осите пресичат обиколката, се наричат върхове (единствен връх). Двете точки, където малката ос пресича обиколката, се наричат съ-върхове .

Двете фокусни точки (или огнища, понякога наричани локус или локуси) са както на главната ос, така и на еднакво разстояние от центъра.

Разстоянието от една фокусна точка до която и да е точка от обиколката и обратно до другата фокусна точка (синята пунктирана линия в нашата диаграма) е същото като дължината между върховете на главната ос.

Степента, до която елипсата е удължена, се определя от нейната ексцентричност . Формулата за изчисляване на ексцентрицитета е:

Ексцентричност = разстояние от центъра до фокусната точка
разстояние от центъра до върха на главната ос

Ексцентричността на кръг е нула, тъй като фокусните точки са точно на едно и също място (центъра) (казваме също, че са съвпадение ). Следователно разстоянието от центъра до фокусната точка е нула. Ексцентричността се увеличава, когато елипсата става по-дълга, но винаги е по-малка от 1. Когато разстоянието от центъра до фокусната точка е същото като разстоянието от центъра до върха, тогава елипсата е станала права линия и нейната ексцентричност е равно на 1.

Площта на елипса се изчислява като π (½ x малка ос) (½ x основна ос).


Параболи, хиперболи и връзката между извити форми

Параболите и хиперболите са повече форми на извити форми, но те са по-сложни за дефиниране от кръгове и елипси. Те са тясно свързани помежду си и с кръговете и елипсите, защото всички те са конични сечения , т.е. форми, които се образуват чрез нарязване през конус с плоска равнина.

Характеристиките на коничните сечения са изучавани в продължение на хилядолетия и са били обект на интерес за древногръцките математици като Евклид и Архимед. Диаграмата по-долу показва двоен конус, по-скоро като пясъчен таймер.

  • Ако равнината отрязва конуса под ъгъл, успореден на основата на конуса (т.е. перпендикулярно на неговата вертикална ос), тогава кръг се формира (горе вляво).

  • Ако самолетът реже конуса успоредно на страната на конуса , тогава сателитна чиния се формира (център).

  • Ако равнината отрязва конуса под ъгъл между тези две, така че да поддържа контакт със страните на конуса на всички места, тогава елипса се формира (долу вляво).

    значение на социалните умения в живота
  • Ако равнината прерязва двата конуса под по-вертикален ъгъл, тогава сечението е a хипербола .

Параболите и хиперболите са симетрични криви с една ос на симетрия и a връх (най-ниската точка на u-формата на кривата).

Всички параболи имат една и съща характерна форма, независимо колко големи са. Докато отдалечавате от върха към безкрайността, параболата се променя от форма на купата към форма на фиби, като ръцете й стават все по-близо до паралелни.

За разлика от параболите, хиперболите могат да бъдат с различни форми , тъй като ъгълът на среза може да варира значително. Както параболите, така и хиперболите са безкрайни, но ръцете на хиперболата никога не стават успоредни.

Конични сечения. Как може да се изреже конус, за да се получи, кръг, елипса, парабола или хипербола.

Реални приложения на конични сечения


Има много реални приложения на конични сечения.

  • Те се използват в лещи за телескопи и рефлектори в фарове или прожектори, за да създадат лъч светлина.
  • Сложната математика, свързана с тези форми, е жизненоважна при изчисляването на орбитите на спътниците.
  • В инженерството кабелите на моста Golden Gate са във формата на перфектни параболи, а аеродинамичните профили в самолетите са базирани на елипси.
  • В спорта дъгата, последвана от футболна, бейзболна или крикет топка, също е парабола, така че разбирането на коничните сечения е жизненоважно за анализиране на представянето на играчите - все по-важно с парите, инвестирани в професионален спорт.
  • Органичната форма на тези форми ги придава и на изкуствата и архитектурата. Примерите включват Кибертектурното яйце в Мумбай, Арката на портата в Мисури и многобройни произведения на скулптурите, като Torqued Ellipses на Ричард Сера в музея Гугенхайм.

Умения, от които се нуждаете?

Кръговете са част от основната геометрия и наистина трябва да знаете как да изчислите основните им свойства.

Вероятно обаче е малко вероятно да ви се наложи да направите повече, отколкото да знаете за съществуването на другите форми, освен ако не искате да се захванете сериозно с инженерство, физика или астрономия.

Въпреки това, може да откриете, че оценявате знанието, че вдлъбнатите криви на охладителната кула на електроцентралата или светлината от насочена надолу халогенна лампа са във формата на хипербола.

Продължете към:
Изчислителна площ
Триизмерни форми