Въведение в тригонометрията

Вижте също: Геометрия - въведение

Тригонометрията, както подсказва името, е свързана с триъгълници.

По-конкретно, тригонометрията е за правоъгълни триъгълници, където един от вътрешните ъгли е 90 °. Тригонометрията е система, която ни помага да изработим липсващите или неизвестни дължини на страни или ъгли в триъгълник.

Повече за триъгълниците има на нашата страница на Многоъгълници трябва ли да разгледате основите, преди да прочетете по-нататък тук.



Правоъгълни триъгълници: напомняне

Правоъгълният триъгълник има един прав ъгъл. По дефиниция това означава, че всички страни не могат да бъдат с еднаква дължина. Типичен правоъгълен триъгълник е показан по-долу.

Важни условия за правоъгълни триъгълници


Правоъгълен триъгълник, показващ противоположната, съседната и хипотенузата
  • The прав ъгъл се обозначава от малкото поле в ъгъла.



  • Другият ъгъл, който (обикновено) знаем, се обозначава с θ (тита) .

  • Страната, противоположна на правия ъгъл, която е най-дългата страна, се нарича хипотенуза .

  • Страната, противоположна на θ, се нарича противоположно .



  • Страната до θ, която не е хипотенузата, се нарича съседен .

Теорема на Питагор срещу тригонометрията


Питагор е гръцки философ, живял преди повече от 2500 години. На него се приписват редица важни математически и научни открития, може би най-значимото от които е станало известно като теоремата на Питагор.

Важно е правилото, което се прилага само до правоъгълни триъгълници . Пише това ‘Квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите от другите две страни.’

Това звучи доста сложно, но всъщност е доста проста концепция, когато я видим в диаграма:

най-влиятелното събитие за комуникация е
Питагор

Теоремата на Питагор казва:

да седве+ bдве= cдве

Така че, ако знаем дължината на двете страни на триъгълник и трябва да изчислим третата, можем да използваме теоремата на Питагор.

Ако обаче знаем само една странична дължина и един от вътрешните ъгли, тогава Питагор не ни е от полза сам по себе си и трябва да използваме тригонометрия.


Представяме синус, косинус и тангенс

В тригонометрията има три основни функции, всяка от които е едната страна на правоъгълен триъгълник, разделена на друга.

Трите функции са:

Име Съкращение Връзка със страните на триъгълника
Синус Без Sin (θ) = Противоположно / хипотенуза
Косинус Нещо Cos (θ) = съседна / хипотенуза
Допирателна Така Тен (θ) = Срещу / в съседство


Изчисляване на синус, косинус и тангенс

Може да ви е полезно да запомните синус, косинус и тангенс като SOH CAH TOA.

Спомнянето на тригонометрични функции може да бъде трудно и объркващо за начало. Дори SOH CAH TOA може да бъде сложен. Можете да опитате да измислите забавна мнемоника, която да ви помогне да запомните. Просто поддържайте всяка група от три букви в същия ред.

кои типове графики показват модели и правят сравнения за групите?



Например, TOA SOH CAH може да бъде ' т той ИЛИ ld ДА СЕ археолог С в ИЛИ н З. е ° С овес ДА СЕ nd З. в ’.

Най-добрият съвет!


Поради връзките между тях, Tan θ може да се изчисли и като:
Sin θ / Cos θ.

Това означава, че:

  • Sin θ = Cos θ × Tan θ и
  • Cos θ = Sin θ / Tan θ.

Тригонометрия в кръг

За повече информация относно кръговете или бързо опресняване вижте нашата страница на Кръгове и извити форми .

Когато разглеждаме триъгълници, ние сме ограничени до ъгли, по-малки от 90 °. Тригонометрията обаче е еднакво приложима за всички ъгли, от 0 до 360 °. За да разберете как работят тригонометричните функции с ъгли, по-големи от 90 °, е полезно да помислите за триъгълници, изградени в кръг.

Декартовите координати на кръг.



Помислете за кръг, разделен на четири квадранта.

Обикновено центърът на кръга се счита за декартова координата на (0,0). Тоест стойността x е 0, а стойността y е 0. За повече информация вижте нашата страница на Декартови координати .

Всичко вляво от центъра има стойност x по-малка от 0 , или е отрицателно, докато всичко вдясно има положителна стойност.

По същия начин всичко под централната точка има y стойност по-малка от 0 , или е отрицателно и всяка точка в горната част на кръга има положителна y стойност.


Използване на окръжност с тригонометрични функции за ъгли по-големи от 90 °.

Диаграма i показва какво се случва, ако нарисуваме радиус от центъра на окръжността вдясно по оста x (казваме, че това е в положителна посока).

След това завъртаме радиуса в посока обратно на часовниковата стрелка през ъгъл theta θ. Това създава правоъгълен триъгълник.

Без θ = отсреща (червена линия)
хипотенуза (синя линия)

Cos θ = съседен (зелена линия)
хипотенуза (синя линия)

В Диаграма yl , завъртяхме радиуса по-нататък в посока, обратна на часовниковата стрелка, покрай вертикалата (оста y) в следващия квадрант. Тук θ е тъп ъгъл между 90 ° и 180 °. Референтният ъгъл алфа α е равен на 180 ° - θ и е острият ъгъл в правоъгълния триъгълник.

Sin θ = Sin α = отсреща (червена линия)
хипотенуза (синя линия)

Както сините, така и червените линии са положителни, така че sin θ е положителен.

Cos θ = −Cos α = съседен (зелена линия)
хипотенуза (синя линия)

Cos θ е отрицателно, тъй като зелената линия е отрицателна (тя се намира по оста x вляво от началото (0,0), така е и в отрицателния участък на оста x).

В Диаграма iii , радиусът се е завъртял допълнително обратно на часовниковата стрелка в следващия квадрант, така че стойността на θ е между 180 ° и 270 °. Зелените, червените и сините линии имат отрицателни стойности и α = θ - 180 °. Следователно синусите и косинусите имат положителна стойност.

Диаграма iv показва крайния квадрант. Стойността на θ е между 270 ° и 360 °, зелената линия е положителна, но червената и синята линии са отрицателни. Следователно Sin θ е положителен, а Cos θ е отрицателен. α = 360 ° - θ.


Кръгът на единицата

The „Единичен кръг“ е специален случай на кръга, показан на диаграмите по-горе. Кръгът на единицата има радиус 1.

Когато работим с единичен кръг, можем директно да измерваме cos, sin и tan:

Синус, косинус и тангенс - единичен кръг

Графики на синус, косинус и тангенс

Връзката между ъгъла и греха или cos може да бъде представена като графика:

  • y = sin (θ)
  • y = cos (θ)
Граф Синус, Косинус. www.skillsyouneed.com/num/trigonometry.html

Можете да видите, че когато θ е 0, тогава това е синус. Това има смисъл, когато погледнете диаграмата на кръговите единици по-горе. Когато θ = 0, двете съседни и хипотенуза лежат по положителната ос x и червената линия, която показва стойността на sin θ, изчезва (няма триъгълник).

Графикът на косинусите е със същата форма на синус, но има стойност 1, когато θ = 0. Поглеждайки отново към кръга по-горе, когато θ = 0, съседните и хипотенузата лежат по положителната ос x и имат една и съща стойност, така че съседна / хипотенуза = 1.

Цикличният характер на синусовите и косинусовите графики е изключително важен в науката, природата и инженерството. Примерите включват електрически приложения (променлив ток), звукови и радиовълни, просто хармонично движение (като люлеещо се махало), траекторията на спътниците или нарастването и падането на прилива.

The амплитуда на цикличен модел на вълната е стойността на „пика“ в графиката, т.е. разстоянието от оста x до максималната или минималната стойност. В графиките на синусите и косинусите амплитудата има стойност 1. При приложения като звук или електрически ток амплитудата варира в зависимост от силата на звука или големината на тока. Амплитудата на приливите и отливите също варира, в зависимост от положението на луната и нейното „изтегляне“ на земята.

Характеристиките на допирателната графика (tan θ) са доста различни. Графиката на допирателната няма амплитуда (вълноподобни характеристики), тъй като няма максимални или минимални пикови стойности. Той се променя от −∞ на + ∞ (отрицателна и положителна безкрайност), преминавайки през 0 на всеки 180 °:

Графика на допирателни линии.

На безкрайност (положителна или отрицателна) се казва, че е неопределено. Можем да разберем тази графика по-добре, когато разгледаме уравнението tan θ = sin θ / cos θ. Когато sin θ е нула, тогава tan θ също трябва да е нула. И обратно, когато cos θ е нула, тогава знаменателят в уравнението става нула. Всичко, разделено на нула, има стойност на безкрайност, така че стойностите на θ, които имат косинус от нула, също имат тангенс на безкрайността на графиката. Безкрайността няма точна стойност, така че линиите на допирателната графика стават все по-вертикални, когато оста y се увеличава до все по-големи стойности. Линиите се приближават все по-близо до вертикалните линии на графиката за определени стойности на θ, например при 90 °. Всяка от тези вертикални линии се нарича асимптота .

какво е значението на консултирането

Обратно на синус, косинус и тангенс

Можете също така да изработите обратната функция на sin, cos и tan, което означава 1, разделено на тази функция. Те са обозначени като sin / cos / tan -1. Това ви позволява да определите ъгъла, ако имате греха, косата или загара от него.

С други думи:

  • Грех (90) = 1
  • Грех - 1 (1) = 90 °

Тригонометрия и калкулатори


Научните калкулатори имат функции sin, cos и tan, както и обратни функции. Струва си да отделите няколко минути, за да разберете как работи вашият калкулатор, тъй като това може да ви спести часове на бъркотия, когато имате нужда от него.


Други триъгълници и тригонометрия

Тригонометрията работи и за други триъгълници, но не по съвсем същия начин. Вместо това има две правила, базирани на триъгълник като този:

Триъгълници в тригонометрията

Правилото за синус е:

да се/без A=б/без Б=° С/без С

Правилото на косинуса е:

° Сдве= адве+ bдве- 2ab cos (C)


Защо ми трябва тригонометрия?

Това е разумен въпрос и отговорът е поне отчасти, защото онези, които решават учебната програма по математика в много страни, мислят, че трябва да знаете за това и то с много основателна причина.

многоъгълник с 6 страни и 6 ъгъла

Казва се, че тригонометрията е най-важната математическа връзка, откривана някога. Триъгълниците са една от най-простите форми, срещани в природата, но тяхната математика има жизненоважно значение, особено там, където са необходими точни измервания на разстоянието. Когато започнем да мислим за приложенията, където са важни точните разстояния, очевидно е, че има десетки, включително навигация във военноморски и авиационни системи, астрономия, сателитни системи, географски проучвания и картография (карти), архитектура и структурно инженерство, графичен дизайн и компютърно генерирани изображения.

Много от тях разчитат на измервателна техника, известна като триангулация , който прилага понятията тригонометрия.

Пример: Тригонометрия и навигация

Когато плавате или плавате по море, където в крайна сметка сте засегнати от:

  • Посоката, в която се насочвате;
  • Скоростта, с която се движите в тази посока (т.е. скоростта на двигателя или вятъра); и
  • Посоката и скоростта на прилива.

Можете да карате в една посока, но приливът може да идва от едната страна и да ви тласне към другата. Ще ви е необходима тригонометрия, за да разберете докъде ще пътувате и в каква точно посока.

Изработете посоката си на пътуване с помощта на тригонометрия.

Съвсем правилно ще разберете, че не е толкова просто, колкото всичко това, защото действителната посока на движение зависи от скоростта на прилива и вашата скорост, но вероятно можете да разберете защо тригонометрията може да е важна!


Работен пример

Излязохте за еднодневно плаване и нямате нищо против къде ще попаднете. Започнахте да се отправяте на изток и планирате да плавате за един час с крейсерска скорост 10 км / ч. Приливът е на север и се движи с 5 км / ч. В каква посока ще свършите да пътувате?

  1. Първо нарисувайте вашия триъгълник и маркирайте страните. Насочвате се на изток, така че нека направим така, че дъното на триъгълника да е с дължина 10 км. Приливът ще ви тласне на север, така че нека направим това от дясната страна. И искате да знаете в каква посока ще стигнете, така че това е ъгъл θ.

    Пример за тригонометрия
  2. Имате обратното и съседното, което означава, че трябва да използвате допирателна. Tan θ = Противоположно / съседно = 5/10 = 0,5.

  3. Сега е моментът да се използва функцията за обратен тен. Обратният тен на 0,5 е 26,6 °. С други думи, тен 26,6 = 0,5.

  4. Компас Посоката (вашата „посока“ в навигацията) се измерва от север , което е 0 ° на вашия компас. Вашият отговор от (3) обаче се измерва от 90 ° или на изток. Следователно ще трябва да извадите отговора си от 90 °, за да получите отговор: Пътувате в посока (посока) от 63,4 °, която е между Североизток (45 °) и Изток Североизток (67,5 °).

Защо това е важно? Ще трябва да знаете в коя посока сте пътували, за да отплавате до дома, разбира се!

В реалния живот също ще трябва да помните, че дотогава приливът може да се е променил ...


Заключение

Тригонометрията може да няма толкова много ежедневни приложения, но ви помага да работите с триъгълници по-лесно. Това е полезна добавка към геометрията и действителните измервания и като такава си заслужава да развиете разбиране на основите, дори ако никога не желаете да напредвате по-нататък.

Продължете към:
Геометрия
Въведение в алгебрата